Question

6．若抛物线L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y=ax+b满足a²+b²=2a（2c-b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y=x-2与抛物线y=ax²+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y=x²+bx+c的“支线”与y=-$\frac{4c}{x}$的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y=ax²+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y=ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：$\frac{S}{|a|}$的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a=1，1+b²=2（2c-b）   ①，可得抛物线y=x²+bx+c的“支线”为y=x+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=-\frac{4c}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+bx+4c=0，由抛物线y=x²+bx+c的“支线”与y=-$\frac{4c}{x}$的图象只有一个交点，可知△=0，得b²-16c=0   ②，由①②解方程组即可解决问题．
（3）$\frac{S}{|a|}$的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y=ax²+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y=ax+4a+b与y轴交于点D，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=ax+4a+b}\end{array}\right.$，消去y得到ax²+（b-a）x+c-4a-b=0，推出x₁+x₂=$\frac{a-b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c-4a-b}{a}$，推出|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{a-b}{a}）^{2}-\frac{4（c-4a-b）}{a}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}-4ac+16{a}^{2}+4ab}{{a}^{2}}}$，把a²+b²=2a（2c-b）代入上式化简得到|x₁-x₂|=4，由AB∥PC，可得S=S_△PAB=S_△CAB=S_△CDB-S_△CDA═$\frac{1}{2}$•CD•|B_x-A_x|=$\frac{1}{2}$•|4a|•4=8•|a|，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意a=1，b=-2，1²+（-2）²=2（2c+2），解得c=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+$\frac{1}{4}$，
∵y=x²-2x+$\frac{1}{4}$=（x-1）²-$\frac{3}{4}$，
∵a=1＞0，
∴x=1时，y有最小值，最小值为-$\frac{3}{4}$．

（2）由题意a=1，1+b²=2（2c-b）   ①
∴抛物线y=x²+bx+c的“支线”为y=x+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=-\frac{4c}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到x²+bx+4c=0，
∵抛物线y=x²+bx+c的“支线”与y=-$\frac{4c}{x}$的图象只有一个交点，
∴△=0，
∴b²-16c=0   ②
由①②可得b=-2，c=$\frac{1}{4}$或b=-$\frac{2}{3}$，c=$\frac{1}{36}$，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{1}{x}$或y=-$\frac{1}{9x}$．

（3）$\frac{S}{|a|}$的值是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y=ax²+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y=ax+4a+b与y轴交于点D，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=ax+4a+b}\end{array}\right.$，消去y得到ax²+（b-a）x+c-4a-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{a-b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c-4a-b}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{a-b}{a}）^{2}-\frac{4（c-4a-b）}{a}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}-4ac+16{a}^{2}+4ab}{{a}^{2}}}$，
把a²+b²=2a（2c-b）代入上式化简得到|x₁-x₂|=4，
∵AB∥PC，
∴S=S_△PAB=S_△CAB=S_△CDB-S_△CDA═$\frac{1}{2}$•CD•|B_x-A_x|=$\frac{1}{2}$•|4a|•4=8•|a|，
∴$\frac{S}{|a|}$=8，$\frac{S}{|a|}$的值是定值．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．