Question

20．已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

解答 解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0）．
将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以此函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+x=4．
（2）如图所示：

∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m，$\frac{1}{2}$），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m，
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．
答：m=-2时S有最大值S=4．
（3）设P（x，$\frac{1}{2}$x²+x-4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y=-x，
则Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（$\frac{1}{2}$x²+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2$\sqrt{5}$．
x=0不合题意，舍去．
如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）或（4，-4）．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论求得结果．