Question

16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8；将矩形纸片沿折痕DF折叠，使点C叠在AB边上的点E处．
（1）求证：△ADE∽△BEF； 
（2）求BF的长；
（3）问在边DC上是否存在一点P，使得△FCP与△BEF相似？若存在请求出此时CP的长；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，可得∠A=∠B=∠C，根据直角三角形的性质，可得∠1与∠3的关系，根据折叠的性质，可得∠DEF=∠C，根据角的和差，可得∠1与∠2的关系，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系，根据相似三角形的判定，可得答案；
（2）根据折叠的性质，可得DE与BC的关系，CF与BE的关系，根据勾股定理，可得AE的长，根据相似三角形的性质，可得关于BF的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于CP的方程，根据解方程，可得答案．

解答 （1）证明：如图1，
∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵折叠，
∴∠DEF=∠C═90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ADE∽△BEF；
（2）∵折叠，
∴DE=DC=10，CF=EF．
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}$=6，
∴BE=10-6=4．
∵△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{BE}$，即$\frac{6}{BF}$=$\frac{8}{4}$．
解得BF=3；
（3）如图2，
∵∠B=∠C，BE=4，BF=3，CF=BC-BF=5．
①当△CFP∽△BEF时，$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CP}{BF}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{CP}{3}$，
解得CP=$\frac{15}{4}$；
②当△CFP∽△②BEF时$\frac{CP}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{CP}{4}$=$\frac{5}{3}$，
解得CP=$\frac{20}{3}$；
综上所述，存在点P，使△FCP与△BEF相似，
此时，CP=$\frac{15}{4}$或$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了相似形综合题，利用了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定，利用余角的性质得出∠2=∠3是解题关键；利用了勾股定理，相似三角形的性质；利用相似三角形的性质得出关于CP的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．