Question

11．如图，二次函数y=x²+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO=45°．
（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A和点O的坐标代入抛物线的解析式可求得b=-2，c=0，从而得到抛物线的解析式，由抛物线的对称性可知点C的横坐标为1，将x=1代入抛物线的解析式可求得y=-1，故此可求得点C的坐标；
（2）由∠BAO=45°可知直线AB的一次项系数为-1，从而可求得直线AB的解析式为y=-x+2．如图1所示：当∠ADC=90°时．依据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD的解析式为y=x-2，将y=-x+2与y=x-2联立可求得点D的坐标为（2，0）；如图2所示：当∠BCD=90°时．将y=-x+2与y=x²-2x联立得求得点B的坐标为（-1，3），然后依据待定系数法求得直线BC的解析式为直线BC的解析式为y=-2x+1，依据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$，将y=-x+2与y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$联立可求得点Q的坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．

解答 解：（1）将（0，0）、（2，0）代入函数的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$．
二次函数的解析式为y=x²-2x．
∵点（0，0）与（2，0）关于x=1对称，
∴抛物线的对称轴为x=1．
将x=1代入得：y=-1．
∴点C的坐标为（1，-1）．
（2）∵∠BAO=45°，
∴直线AB的一次项系数为-1．
设直线AB的解析式为y=-x+b，将（2，0）代入得：-2+b=0，
解得：b=2．
∴直线AB的解析式为y=-x+2．
如图1所示：当∠ADC=90°时．

∵∠ADC=90°，
∴CD⊥AB．
∴直线CD与直线AB的一次项系数的乘以为-1．
∴直线CD的一次项系数为1．
设直线CD的解析式为y=x+b．
∵将C（1，-1）代入得：1+b=-1．解得：b=-2，
∴直线CD的解析式为y=x-2．
将y=-x+2与y=x-2联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=x-2}\end{array}\right.$．
解得：x=2，y=0．
∴点D的坐标为（2，0）．
如图2所示：当∠BCD=90°时．

∵将y=-x+2与y=x²-2x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-1，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将（-1，3）、（1，-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=-2x+1．
∵CD⊥BC，
∴直线CD的一次项系数为$\frac{1}{2}$．
设直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}x$+c，将点C的坐标代入得：$\frac{1}{2}×1+c$=-1．
解得：c=$-\frac{3}{2}$．
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$．
将y=-x+2与y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴点Q的坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
由图形可知∠CBD=90°的情况不存在．
综上所述，点Q的坐标为（2，0）或（$\frac{7}{3}$，$-\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数与一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二函数的解析式、二元二次方程组和二元一次方程组的应用，明确相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1是解题的关键．