Question

10．已知抛物线y=a（x-m）²+n的顶点为A，与y轴的交点为B，若直线AB的解析式为y=-2x+b，点A，B关于原点的对称点分别为A′，B′，且四边形ABA′B′为矩形，则下列关于m，n，b的关系式正确的是（　　）

• A． 5m=4b
• B． 4m=5b
• C． 5n=3b
• D． 3n=5b

Answer 1

分析 根据题意可知：A（m，n），B（0，b），所以B′的坐标为（0，-b），由题意可知：四边形ABA′B′为矩形，所以对角线AA′=BB′．

解答 解：由题意可知：A（m，n），B（0，b），
∵点A，B关于原点的对称点分别为A′，B′，
∴BB′=|2b|，
∵四边形ABA′B′为矩形，
∴AA′=BB′，
∵OA²=m²+n²，
∵AA′²=4OA²=4（m²+n²），
∴4（m²+n²）=4b²，
把（m，n）代入y=-2x+b，
∴n=-2m+b，
∴b²=m²+（-2m+b）²，
化简可得：5m=4b，
故选（A）

点评 本题考查了二次函数的性质，涉及矩形的性质，二次函数的性质，完全平方差公式，综合程度较高．