Question

5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，连接DE，交AC于点F，∠AED=60°，若DF=$\sqrt{3}$，则四边形ABCE的周长为10+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据图形旋转的性质得出△ABD≌△ACE，故可得出AB=AC，AD=AE，再由∠AED=60°可得出△ADE是等边三角形，再由AD平分∠BAC可得出∠BAD=∠CAD，故∠BAD=∠CAD=∠EAF=30°，所有AC是∠DAE的平分线，由锐角三角函数的定义求出AD的长；同理可得出AB的长，进而可得出结论．

解答 解：∵△ACE由△ABD旋转而成，
∴△ACE≌△ABD，
∴AB=AC，AD=AE．
∵∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD=∠EAF=30°，
∴AC是∠DAE的平分线，
∴AC⊥DE．
∵DF=$\sqrt{3}$，
∴AD=2DF=2$\sqrt{3}$．
∵∠BAD=∠CAD=∠EAF=30°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴CE=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴四边形ABCE的周长=AB+BC+CE+AE=4+4+2+2$\sqrt{3}$=10+2$\sqrt{3}$．
故答案为：10+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是旋转的性质，熟知等边三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识是解答此题的关键．