Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=12cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）连接DE、DF，当t为何值时，四边形AEDF为菱形？

（2）连接PE、PF，在整个运动过程中，△PEF的面积是否存在最大值？若存在，试求当△PEF的面积最大时，线段BP的长．

（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当t=2s时，四边形AEDF为菱形；（2）BP=6cm；（3）存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上，t=.

【解析】

试题分析：（1）根据四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，此时，DH= AD=4cm，再根据直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，即可求得t==2（s）；（2）先根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，进而得出 ，据此求得EF=12﹣3t，再根据S△PEF=EFDH=（12﹣3t）2t=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12（0＜t≤4），求得当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为12cm2，最后计算线段BP的长；（3）若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，根据△FCG∽△ACD，得到，进而得到CG=t，PG=12﹣3t﹣t，最后在Rt△PFG中，根据勾股定理列出方程（12﹣3t﹣t）2+（2t）2=（12﹣3t）2，即可求得t的值．

试题解析：（1）如图1，若四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，

此时，DH=AD=4cm，

又∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，

∴t==2（s），

此时，EF垂直平分AD，

∴AE=DE，AF=DF．

∵AB=AC，AD⊥BC于点D，

∴AD⊥BC，∠B=∠C．

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，

即四边形AEDF为菱形，

故当t=2s时，四边形AEDF为菱形；

（2）如图2，∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，AD=8cm，

∴DH=2t，AH=8﹣2t，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即．

解得EF=12﹣3t，

∴S△PEF=EFDH=（12﹣3t）2t=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12（0＜t≤4），

∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为12cm2，

此时BP=3t=6cm；

（3）存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上．

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12cm，AD=8cm，

∴AB=AC=10cm，

若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，

由（2）可得，EF=12﹣3t=PF，

如图3，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，

∴△FCG∽△ACD，

∴，即，

∴CG=t，

又∵BP=3t，BC=12cm，

∴PG=12﹣3t﹣t，

∴Rt△PFG中，（12﹣3t﹣t）2+（2t）2=（12﹣3t）2，

解得t1=或t2=0（舍去），

∴当t=时，点F在线段EP的中垂线上．