Question

5．如图①，平行四边形ABCD中，AB=AC，CE⊥AB于点E，CF⊥AC交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE∽△AFC；
（2）连接BF，分别交CE、CD于G、H（如图②），求证：EG=CG；
（3）在图②中，若∠ABC=60°，求$\frac{BG}{GF}$．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACF=90°，由四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BC}=\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AF}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DF}=\frac{AB}{AF}$，推出△BGE≌△HGC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等边三角形的判定定理得到△ABC是等边三角形，由全等三角形的性质得到BE=CH，等量代换得到CH=DH，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AC，
∴∠BEC=∠ACF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵AB=AC，∴∠EBC=∠ACB=∠CAF，
∴△BCE∽△AFC；

（2）证明：∵△BCE∽△AFC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AF}$，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DF}=\frac{AB}{AF}$，
∴BE=CH，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠HCG，
∠EBG=∠CHG，在△BGE与△HGC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠HCG}\\{∠EBG=∠CHG}\\{BE=CH}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△HGC，
∴EG=CG；

（3）解：∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵CE⊥AB，
∴BE=AE，
∵△BGE≌△HGC，
∴BE=CH，
∴CH=DH，
∵AD∥BC，
∴BH=FH，
∵BG=GH，
∴BG：GF=1：3．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，平行四边形的性质，证得△BGE≌△HGC是解题的关键．