Question

12．小明观看了阿尔法狗下围棋后，设计了一款电子跳蚤游戏，如图所示的正△ABC边长为12cm，如果电子跳蚤开始在BC边的点P₀处，且BP₀=4cm．此时第一步从P₀跳到AC边的P₁（第1次落点）处，且CP₁=CP₀；第二步从P₁跳到AB边的P₂（第2次落点）处，且AP₂=AP₁；第三步P₂从跳到BC边的P₃（第3次落点）处，且BP₃=BP₂；…：电子跳蚤按照上述规则已知跳下去，第n次落点为P_n（n为正整数），则点P₂₀₁₅与点P₂₀₁₆之间的距离是4cm．

Answer 1

分析 首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2015次、第2016次落点的位置，再根据△BP₀P₅是等边三角形，即P₂₀₁₅P₂₀₁₆=P₅P₀，从而确定P₂₀₁₅与P₂₀₁₆之间的距离．

解答 解：因为BP₀=4，根据题意，CP₀=12-4=8，
第一步从P₀到P₁，CP₁=CP₀=8；AP₁=12-8=4，
第二步从P₁到P₂，AP₂=AP₁=4；BP₂=12-4=8，
第三步从P₂到P₃，BP₃=BP₂=8；CP₃=12-8=4，
第四步从P₃到P₄，CP₄=CP₃=4；AP₄=12-4=8，
第五步从P₄到P₅，AP₅=AP₄=8；BP₅=12-8=4，
第六步从P₅到P₆，BP₆=BP₅=4；
由此可知，P₆点与P₀点重合，
又因为2015÷6=335…5，2016÷6=336，
所以P₂₀₁₅点与P₅点重合，则点P₂₀₁₅与B点之间的距离为BP₅=4，
P₂₀₁₆点与P₀点重合，则点P₂₀₁₆与B点之间的距离为BP₀=4，
又∵∠B=60°，
故△BP₀P₅是等边三角形，即P₂₀₁₅P₂₀₁₆=P₅P₀=4cm，
故答案为：4cm．

点评 本题考查了规律型：图形的变化和等边三角形的判定和性质，此题主要是能够根据题意正确计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，从而完成计算．