Question

3．小明在解决问题：已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求2a²-8a+1的值
他是这样分析与解的：∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$，
∴a-2=-$\sqrt{3}$，∴（a-2）²=3，a²-4a+4=3
∴a²-4a=-1，2a²-8a+1=2（a²-4a）+1=2×（-1）+1=-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{121}+\sqrt{119}}$
（2）若a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求下面式的值①2a²-8a+1；②2a²-5a+$\frac{1}{a}$+2．

Answer 1

分析 （1）将原式分母有理化即可；
（2）将a分母有理化，化简为$\sqrt{2}$+1，代入①，②进行运算即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{121}$-$\sqrt{119}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{121}$-1）
=$\frac{1}{2}$×10
=5；
（2）①∵a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+$1，
∴2a²-8a+1
=2×（$\sqrt{2}+$1）²-8×（$\sqrt{2}$+1）+1
=-6$\sqrt{2}$-1；

②2a²-5a+$\frac{1}{a}$+2
=2×（$\sqrt{2}$+1）²-5（$\sqrt{2}+$1）+2
=2．

点评 本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键．