Question

14．在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°．
（1）如图1，请问点C，D在以AB为直径的圆上吗？为什么？
（2）如图2，连接CD，若AD=BD．
①图中等于45°的角有4个．
②请探究：AC，BC，CD之间的数量关系．
小颖同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处．（如图3）然后通过构造三角形的方法研究这个问题，请你完成这个探究．

③若AC=8，AB=10，求CD长．
（3）如图4，C，D是以AB为直径的圆上两点，C，D在直径同侧，设AC=a，BC=b，当AD=BD时，直接写出CD长（用含a，b的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OD、OC．只要证明OD=OC=OA=OB，推出A、B、C、D四点共圆，推出点C，D在以AB为直径的圆上；
（2）①图中有4个45°角．利用圆周角定理即可证明；
②如图3中，结论：AC+BC=$\sqrt{2}$DC．只要证明△DEC是等腰直角三角形即可解决问题；
③利用勾股定理求出BC，利用②中结论即可解决问题；
（3）如图4中，作C、D关于直径AB的对称点E、F．连接DE，DF，EF，BE，AE．易知AC=AE=a，BC=BE=b，CD=EF，AB=DF=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，由②可知，EA+EB=$\sqrt{2}$DE，可得DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），根据CD=EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$计算即可；

解答 解：（1）如图1中，连接OD、OC．

∵∠ADB=∠ACB=90°，OA=OB，
∴OD=OC=OA=OB，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴点C，D在以AB为直径的圆上．

（2）①如图2中，由（1）可知，A、B、C、D四点共圆，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠DCB=∠DAB=45°，∠DCA=∠DBA=45°，
∴图中有4个45°角，
故答案为4．


②如图3中，结论：AC+BC=$\sqrt{2}$DC．

理由：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，
∵∠DAC+∠DBC=180°，∠EAD=∠DBC，
∴∠DAC+∠EAD=180°，
∴E、A、C共线，
∵∠E=∠DCB=45°=∠ACE，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴EC=$\sqrt{2}$CD，
∵EC=AC+AE=AC+BC，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD．

③如图3中，在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵EC=AC+BC=14，
∵EC=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=7$\sqrt{2}$．

（3）如图4中，作C、D关于直径AB的对称点E、F．连接DE，DF，EF，BE，AE．

易知AC=AE=a，BC=BE=b，CD=EF，AB=DF=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由②可知，EA+EB=$\sqrt{2}$DE，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
∴CD=EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{（a+b）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）．

点评 本题考查几何变换综合题、圆、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用新的结论解决问题，属于中考压轴题．