Question

2．如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=$\frac{2}{x}$于点D，从点D分别作两坐标轴的垂线DC、OE，垂足分别为C、E，连接BC、OD．
（1）请找出一个等腰三角形；
（2）当b=-1时，求出点D坐标并判断四边形OBCD的形状；
（3）当b为任意实数时（b≠0），求证：AD•BD是定值．

Answer 1

分析 （1）根据直线的k值等于1，与坐标轴相交所成的锐角是45°，所以与坐标轴所成夹角为锐角的直角三角形都是等腰直角三角形；
（2）根据题意列出方程组求出点D的坐标，得到DC=1，根据直线与坐标轴的交点的求法求出OB，根据平行四边形的判定定理证明；
（3）根据等腰直角三角形斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍，用CD表示出AD的长度，用DE表示出BD的长度，再根据反比例函数解析式，CD•DE的值等于k值进行解答；

解答 解：（1）∵直线y=x+b，
∴比例系数k=1，
∴∠EBD=∠DAC=45°，
又DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴△AOB、△ACD、△BDE是等腰直角三角形；

（2）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（2，1），
∴DC=1，
∵直线y=x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），
∴OB=1，
∴DC=OB，又DC∥OB，
∴四边形OBCD是平行四边形；

（3）证明：由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形．
∴AD=$\sqrt{2}$CD，BD=$\sqrt{2}$DE．
∵点D在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴CD•DE=2，
∴AD•BD=$\sqrt{2}$CD•$\sqrt{2}$DE=2×2=4，4为定值．

点评 本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数与反比例函数的交点的求法、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定定理是解题的关键．