Question

如图1，已知抛物线过三点O（0，0）、A（8，0）、B（2，2

3

），弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB所在圆的圆心．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠BAO的度数；
（3）求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上；
（4）若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过O（0，0），A（8，0），B（2，2

3

）三点，根据待定系数法可求这条抛物线的解析式；
（2）过点B作BD⊥OA于D，根据点B的坐标是（2，2

3

），求出BD=2

3

，AD=6，再根据tan∠BAO=

BD

AD

=

2 3

6

即可求出∠BAO；
（3）根据中垂线的性质可求点E的坐标为（6，2

3

），再代入抛物线解析式进行计算即可求解；
（4）根据△PBA的三个角分别为15°，45°，120°，分两种情况讨论①当AM₁=AB时，则△APB∽△AP M₁，先求出AB，从而得出OM₁=8-4

3

，即可求出M₁ 的坐标，②连结EP，根据△APB∽△AP M₂时，

AM

AP

=

AP

AB

，代入得出AM，再求出OM₂即可得出M₂ 的坐标．

解答：解：（1）把O（0，0），代入抛物线解析式y=ax²+bx+c中，得c=0                 
把A（8，0），B（2，2

3

），分别代入抛物线解析式y=ax²+bx中，得

64a+8b=0 4a+2b= 3

，
解得

a=- 3 6 b= 4 3 3

，
则这条抛物线解析式y=-

3

6

x²+

4

3

3

x；
（2）如图1，过点B作BD⊥OA于D，
∵点B的坐标是（2，2

3

），
∴OD=2，BD=2

3

，
∴AD=8-2=6，
∵tan∠BAO=

BD

AD

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠BAO=30°；

（3）如图2，
∵线段OA的中点是C，
∴点C（4.0），
∴AC的中垂线是直线x=6，
∵BC的中垂线的解析式是y=

3

3

x，
∴由

x=6 y= 3 3 x

得：

x=6 y=2 3

，
∴点E的坐标为（6，2

3

），
∵当x=6时，y=-

3

6

×6²+

4

3

3

×6=2

3

，
∴点E在抛物线上；                                             

（4）存在，
根据题意得：△PBA的三个角分别为15°，45°，120°，
如图3，
①∵点P是弧BC的中点，
当AM₁=AB时，
则△APB∽△AP M₁，
∵A（8，0），B（2，2

3

），
∴AB=

(8-2)2+(0-2 3 )2

=4

3

，
∴OM₁=8-4

3

，
∴M₁ 的坐标是（8-4

3

，0）
②连结EP，
∵∠PEA=90°，
AP=4

2

，
若△APB∽△AP M₂，
则

AM

AP

=

AP

AB

，
AM=

(4 2 )2

4 3

=

8

3 3

=

8 3

3

，
OM₂=8-

8 3

3

，
∴M₂ 的坐标是（8-

8 3

3

，0）
则点M的坐标是M₁ （8-4

3

，0），M₂ （8-

8 3

3

，0）．

点评：此题考查了二次函数综合题，用到的知识点是待定系数法求抛物线的解析式、中垂线的性质、相似三角形的判定和性质，要注意分类思想的应用，不要漏解．