Question

5．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）如AB=2，AC与BD所夹锐角为60°，求四边形OCED的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．
（2）作DM⊥OC，垂足为点M，证明△COD为等边三角形，得出OC=CD=OD=2，得出CM=1，DM=$\sqrt{3}$CM=$\sqrt{3}$，菱形OCED面积=OC•DM，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED为菱形；
（2）解：作DM⊥OC，垂足为点M，
∵OC=OD，∠COD=60°，
∴△COD为等边三角形，
∴OC=CD=OD，
∵AB=2，四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，
∴OC=CD=OD=2，
∵DM⊥OC，
∴CM=1，
∴DM=$\sqrt{3}$CM=$\sqrt{3}$，
∴菱形OCED面积=OC•DM=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查矩形的性质，平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．