Question

6．如图，四边形ABCD为菱形，∠C=120°，点E是BC上一点．∠AEF=60°，EF交CD于F，求证：（1）∠BAE=∠CEF；（2）AE=EF．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠B=60°，由∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∠B=∠AEF=60°，即可推出∠BAE=∠CEF．
（2）连接AF、AC，AC交EF于O．由△AOE∽△FOC，推出△AOF∽△EOC，推出∠OAF=∠OEC=∠BAE，再证明△ABE≌△ACF，即可解决问题．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
∵∠C=120°，∠C+∠B=180°，
∴∠B=60°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠B=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CEF．

（2）连接AF、AC，AC交EF于O．
∵∠B=∠D=60°，AB=CB=CD=AD，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠AEO=∠ACF=60°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE∽△FOC，
∴$\frac{AO}{OF}$=$\frac{OE}{OC}$，
∴$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OF}{OC}$，∵∠AOF=∠EOC，
∴△AOF∽△EOC，
∴∠OAF=∠OEC=∠BAE，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．