Question

4．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
（3）若AD=3，BD=2，则BC=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的对应角相等得到∠A=∠BCD，根据互余的性质解答；
（3）根据相似三角形的性质求出CD，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
又$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°；
（3）解：∵$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD=6，
∴CD=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．