Question

16．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D在△ABC内，且BD=BC，∠DBC=60°．
（1）如图1，连接AD，直接写出∠ABD的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，再根据三角形的内角和定理得出∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$α，最后根据∠DBC=60°，即可得出答案；
（2）连接AD，CD，先证出△ABD≌△ACD，得出∠ADB=∠ADC，再根据∠BDC=60°，求出∠ADB=150°，得出∠ADB=∠BCE，再证出∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，根据ASA得出△ABD≌△EBC，从而得出AB=BE，即可证出△ABE是等边三角形；
（3）根据已知条件先求出∠DCE=90°，再根据∠DEC=45°，得出△DEC为等腰直角三角形，再根据∠BAD=∠ABD=15°，∠BAC=30°，从而求出α的值．

解答 解：（1）如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵△DBC为等边三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-$\frac{1}{2}$α-60°=30°-$\frac{1}{2}$α；

（2）如图2，连接AD，CD，
∵∠ABE=60°，∠ABD=30°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DBE=30°+$\frac{1}{2}$α，
又∵∠DBC=60°，
∴∠CBE=30°-$\frac{1}{2}$α=∠ABD，
∵∠DBC=60°，BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$α，
在△BCE中，∠BCE=150°，∠CBE=30°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠BEC═$\frac{1}{2}$α=∠BAD，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠BAD}\\{BD=BC}\\{∠CBE=∠ABD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形；

（3）如图2，连接DE，
∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BD，
∵△DBC为等边三角形，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠BEC
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，
∵△ABD≌△EBC
∴∠BAD=∠ABD=∠BEC=15°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°，
∵AB=AC，
∴∠BAC=30°，
∴α=30°．

点评 此题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的综合应用，解决问题的关键是找出全等三角形．