Question

7．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D．
（1）如图1，若CB=CA，则∠D=45度；
（2）如图1，若CB=CA，探究AF与BD之间的数量关系；
（2）如图2，若CB=kCA，探究AF与BD之间的数量关系；

Answer 1

分析 （1）根据∠DBE是△ABD的外角，以及三角形外角和定理即可求解；
（2）作FG⊥AB，DH⊥BF垂足分别为G、H，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质得出FG=FC，BD=DF，于是得到HF=BH=$\sqrt{2}$CF，推出△ACF∽△DHF，即可得到结论；
（3）如图2所示，延长BC至G，使得CG=AC，连接AG，DC过D分别作DH⊥AE于H；DM⊥BC延长线于M；DN⊥AC延长线于N，得到△ACG是等腰直角三角形，推出∠G=∠7=45°，AG=$\sqrt{2}$AC，由于AD平分∠CAB；BD平分∠CBE，证得DH=DN，DH=DM，求出DM=DN，证得CD平分∠MCN，得到∠5=∠6=45°=∠G，由于∠2=$\frac{180°-∠1}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠1，∠GAF=∠3+∠7=$\frac{90°-∠1}{2}$+45°=90°$+\frac{1}{2}$∠1，得到∠GAF=∠2证得△GAF∽△CBD即可得到结论．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBE=180°-45°=135°，∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠CBE=67.5°
∴∠D=∠DBE-∠DAB=45°；
故答案为：45；

（2）如图1，

作FG⊥AB，DH⊥BF垂足分别为G、H，
∵AF平分∠CAB，
∴FC=FG，
∵CB=CA，∠C=90°，BD平分∠CBE，
∴∠DBF=67.5°，∠DFB=∠AFC=67.5°，
∴BD=DF，
∴HF=BH=$\sqrt{2}$CF，
∵∠C=∠DHF，∠AFC=∠DFH，
∴△ACF∽△DHF，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{CF}{FH}$，
即$\frac{AF}{BD}$=$\frac{CF}{\frac{\sqrt{2}}{2}CF}$=$\sqrt{2}$；

（3）如图2所示，延长BC至G，使得CG=AC，连接AG，DC过D分别作DH⊥AE于H；DM⊥BC延长线于M；DN⊥AC延长线于N，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴∠G=∠7=45°，AG=$\sqrt{2}$AC，
∵AD平分∠CAB；BD平分∠CBE，
∴DH=DN，DH=DM，
∴DM=DN，
∴CD平分∠MCN，
∴∠5=∠6=45°=∠G，
∵∠2=$\frac{180°-∠1}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠1，
∠GAF=∠3+∠7=$\frac{90°-∠1}{2}$+45°=90°$+\frac{1}{2}$∠1，
∴∠GAF=∠2
∴△GAF∽△CBD
∴$\frac{BD}{AF}$=$\frac{BC}{AG}=\frac{BC}{\sqrt{2}AC}$=$\frac{kAC}{\sqrt{2}AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$k
即：BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$k•AF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．