题目内容
19．
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）是否存在t值，使点B恰好在线段EF的垂直平分线上？
（2）是否存在t值，使△BEF为直角三角形？
（3）是否存在t值，使四边形AFEC的面积为△ABC面积的$\frac{7}{8}$？
对以上三问，存在，请求出相应的t值；不存在，请说明理由．
分析 （1）由题意可得AF=2t，BE=t，FB=8-2t，要使点B恰好在线段EF的垂直平分线上，只需BF=BE，由此即可求出t的值；
（2）可分∠FEB=90°及∠EFB=90°两种情况进行讨论，然后利用相似三角形的性质，就可求出t的值；
（3）要使四边形AFEC的面积为△ABC面积的$\frac{7}{8}$，只需△BEF的面积为△ABC面积的$\frac{1}{8}$．过点E作EH⊥AB于H，可证△BHE∽△BCA，然后利用相似三角形的性质用t的代数式表示出EH，再根据△BEF的面积为△ABC面积的$\frac{1}{8}$，建立方程，然后解出此方程，就可解决问题．
解答 解：（1）存在．
由题可得：AF=2t，BE=t，FB=AB-AF=8-2t．
当BF=BE即8-2t=t，也即t=$\frac{8}{3}$时，点B在线段EF的垂直平分线上；
（2）存在．
①若∠FEB=90°，
∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BF}{BA}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{8-2t}{8}$，
解得：t=2.4．
②若∠EFB=90°，
∵∠B=∠B，∠EFB=∠C=90°，
∴△BFE∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{8-2t}{6}$=$\frac{t}{8}$，
解得：t=$\frac{32}{11}$．
综上所述：当t=2.4或$\frac{32}{11}$时，△BEF为直角三角形；
（3）存在．
过点E作EH⊥AB于H，如图所示，
则有∠EHB=∠C=90°．
又∵∠B=∠B，
∴△BHE∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{EH}{AC}$．
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{EH}{2\sqrt{7}}$，
∴EH=$\frac{\sqrt{7}t}{4}$．
∵S四边形AFEC=$\frac{7}{8}$S△ABC，
∴S△BEF=$\frac{1}{8}$S△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×（8-2t）×$\frac{\sqrt{7}t}{4}$=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{7}$，
整理得t2-4t+3=0，
解得：t1=1，t2=3．
∴当t=1或3时，四边形AFEC的面积为△ABC面积的$\frac{7}{8}$．
点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质的逆定理、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．
走进文言文系列答案
如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBQ重合，若PB=3，求PQ的长为3$\sqrt{2}$．
已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：AB∥DE．