Question

18．在一次数学综合实践活动课上，老师用硬纸板做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=6$\sqrt{2}$，∠F=90°，∠EDF=30°，EF=2．
如图1，师生共同进行了以下的探究活动：将△ABC固定不动，并将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，将△DEF沿AC方向移动，设△DEF在AC方向上移动的距离为x．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）①EC=8-x（用含x的代数式表示）；
②如图2，连接FC，当x=6时，∠FCA=30°；
（2）将点F关于直线AC的对称点记作F′，当点F′在BC上时，求AD的长，并判断此时FC与AB的位置关系；
（3）在△DEF移动过程中，以线段AD、FC、EC的长度为三边长构造三角形，此三角形能否成为以AD长度为斜边长的直角三角形？若能，求出移动距离x，若不能，请说明理由；
（4）在△DEF沿AC方向移动的过程中，小明同学发现：F、B两点间的距离先逐渐变小，当x=3时，距离最短，此时FB=6+$\sqrt{3}$，然后F、B两点间的距离逐渐变大，小明同学由此联想到二次函数的性质，猜想F、B两点间的距离是△DEF在AC方向上移动距离x的二次函数，小明同学的猜想正确吗？不正确．（填“正确”或“不正确”，不必说明理由．）

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形和含30°直角三角形的性质得出AC=12，DE=4，可得EC的长度；
（2）根据对称的性质得出OF=OF′，再利用直角三角形的有关性质求出OC等边的长度，进一步分析解答即可；
（3）根据勾股定理的逆定理对直角三角形定进行判定，利用三边关系得出方程计算即可；
（4）根据当FB⊥AC时，得出距离最短进而解答即可．

解答 解：（1）①∵∠B=90°，∠A=45°，BC=6$\sqrt{2}$，
∴AC=12，
∵∠F=90°，∠EDF=30°，EF=2，
∴DE=4，
设△DEF在AC方向上移动的距离为x，
∴EC=AC-DE-x=12-4-x=8-x；
②∵∠DEF=60°，
∴∠FEC=120°，
∵∠FCA=30°，
∴∠CFE=30°，
∴EF=CE=2，
∴x=8-2=6；
（2）根据题意作出点F关于直线AC的对称点记作F′，
FF′交AC于点O，如图1：

∵FF′⊥AC，EF=2，∠F=90°，∠EDF=30°，
∴OE=1，OD=3，OF=$\sqrt{3}$，
∵FF′⊥AC，∠A=45°，OF=OF′，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴AD=AC-OD-OC=12-3-$\sqrt{3}$=9-$\sqrt{3}$，
此时FC∥AB．
（3）能，当以AD长度为斜边长的直角三角形，
可得AD²=x²，EC²=（8-x）²，FC²=$（\sqrt{3}）^{2}+（9-x）^{2}$；            
由EC²+FC²=AD²
得：x=17+$\sqrt{141}$；                            
（4）当FB⊥AC时，此时x=3时，距离最短，
可得：FB=6+$\sqrt{3}$；
F、B两点间的距离不是△DEF在AC方向上移动距离x的二次函数，
所以猜想不正确．
故答案为：8-x；6；3；6+$\sqrt{3}$；不正确．

点评 此题考查几何变换问题，主要利用了等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角的性质，勾股定理，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟记各性质并理清各线段与AD的关系是解题的关键．