Question

6．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线AD交BC的延长线于点D，H是OA的中点，CH的延长线交切线AD于点F，BF交⊙O于点E，连接AE，若OB=2，则AE的长为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 连接AC，OC，根据圆周角定理和切线的性质得到证明三角形全等的条件，利用勾股定理求出需要的线段，由三角形的面积公式列出方程解得结果．

解答 解：连接AC，OC，
∵AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠AOC=90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAF=90°，
∵H是OA的中点，
∴AH=OH=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$BO=1，
OC=OB=2，
在△AFH与△OCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COA=∠FAB=90°}\\{AH=OH}\\{∠AHF=∠OHC}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△OCH（ASA），
∴AF=OC=2，
在R_t△ABF中，BF=$\sqrt{{AB}^{2}{+AF}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE=$\frac{AF•AB}{BF}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．