Question

13．（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，过点A作射线AM，使AM⊥BC交BC于点D．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）如图2，已知△ABC中，点D是BC的中点，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥BC于点D，如图1；
（2）如图2，先利用角平分线的性质得到DE=DF，则根据“HL”可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，所以∠B=∠C，然后根据等腰三角形的判定定理可判定△ABC是等腰三角形．

解答 解：（1）如图1，AD为所作；
（2）如图2，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．也考查了等腰三角形的判定．