如图所示.在长方形ABCD中.BC=24cm.AB=10cm.点P.Q.M.N分别从A.B.C.D出发沿AD.BC.CB.DA方向在长方形的边上同时运动.当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时.运动即停止．已知在相同时间内.若BQ=xcm.则AP=2xcm.CM=3xcm.DN=x2cm．(1)当x何值时.点P.Q.M.N停止运动.此时梯形NQMP的面积是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图所示，在长方形ABCD中，BC=24cm，AB=10cm，点P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm．
（1）当x何值时，点P，Q，M，N停止运动，此时梯形NQMP的面积是多少？
（2）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（结果用根号表示）

分析（1）分别令BQ=x=24，AP=2x=24，CM=3x=24，DN=x²=24，求出相应的x的值，取x的最小的值，然后分别求出AP，BQ，CM及QM的值，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x²=24cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠24cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x²≠24cm，BQ+MC=BC即x+3x=24cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．

解答解：（1）令BQ=x=24，解得：x=24；
令AP=2x=24，解得：x=12；
令CM=3x=24，解得x=8；
令DN=x²=24，解得：x=2$\sqrt{6}$，
∵2$\sqrt{6}$＜8＜12＜24，
∴当x=2$\sqrt{6}$cm（即当N到达A点）时，点P，Q，M，N停止运动，
当x=2$\sqrt{6}$cm时，AP=4$\sqrt{6}$cm，CM=6$\sqrt{6}$cm，BQ=2$\sqrt{6}$cm，
∴QM=BC-BQ-CM=24-8$\sqrt{6}$，
如图1所示，

∴梯形NQMP的面积=$\frac{1}{2}$（NP+QM）×AB=$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{6}$+24-8$\sqrt{6}$）×10=120-20$\sqrt{6}$cm；
（2）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P与点N重合时，如图2所示，

由x²+2x=24，得x₁=4，x₂=-6（舍去）．
因为BQ+CM=x+3x=16＜24，此时点Q与点M不重合．
所以x=4符合题意．
②当点Q与点M重合时，由x+3x=24，得x=6．
此时DN=x²=36＞24，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．
所以当x为4时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（3）由（2）知，点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，
由24-（x+3x）=24-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，
由24-（x+3x）=（2x+x²）-24，
解得x₁=-3-$\sqrt{57}$（舍去），x₂=-3+$\sqrt{57}$．
当x=-3+$\sqrt{57}$时四边形NQMP是平行四边形．
所以当x=2或x=-3+$\sqrt{57}$时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

点评此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的等量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题，并渗透分类讨论思想．

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