Question

15．如图1，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为点G，连接AD，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，与AB相交于点H，与⊙O相交于点E，连接DE．
（1）求证：∠E=2∠C；
（2）求证：DE=CH；
（3）如图2，连接BE，分别于AD、CD相交于点M、N，当OH=2OG，HF=$\sqrt{10}$时，求线段EN的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；
（2）连接BC，运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明BC=CH，再证明BC=DE；
（3）根据已知设出OG和OH，结合（2）表示BG，进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示CH，BE，结合△BGN∽△BEA，即可求解．

解答 解：（1）如图1，

连接AC，
∵直径AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD，∠CAB=∠BAD，
∴∠CAD=2∠BAD，
∴∠E=∠CAD=2∠BAD，
易证：∠C+∠CDA=90°，∠BAD+∠CDA=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠E=2∠C；
（2）如图2，

连接BC，由直径AB⊥弦CD，CF⊥AD，易证：∠CHB=∠ADC，
又∵∠ADC=∠B，
∴∠B=∠CHB，
∴CH=CB，
由（1）知∠E=2∠C，弧BC=弧BD
∴弧CD=2弧DE，
∴弧BC=弧DE，
∴BC=DE，
∴DE=CH；
（3）如图3，

由OH=2OG，可设OG=x，则OH=2x，
于是，HG=3x，
由（2）知，BC=CH，
∵AB⊥CD，
∴BG=GH=3x，
∴OB=4x，OC=4x，AB=8x，AH=2x，
由勾股定理可求，BE=$2\sqrt{15}$x，CG=$\sqrt{15}$x，CH=$2\sqrt{6}$x，
∵弧DE=弧BD，
∴∠BAD=∠DCE，
∴sin∠BAD=sin∠DCE，
∴$\frac{HF}{AH}=\frac{HG}{CH}$，
解得：x=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴BE=$2\sqrt{15}$x=20，
在△BGN与△BEA中，∠GBN=∠EBA，∠BGN=∠BEA=90°，
∴△BGN∽△BEA，
∴$\frac{BN}{AB}=\frac{BG}{BE}$，
∴$\frac{BN}{8x}=\frac{3x}{2\sqrt{15}x}$，
解得：BN=$\frac{24x}{2\sqrt{15}}$=8，
∴EN=BE-BN=12．

点评 此题主要考查圆的综合问题，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键．