Question

12．设关于x的一元二次方程x²+2px+1=0有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试求示数p的范围．
两位同学通过探索提出自己的部分想法如下：
甲：求p的范围，只需要考虑判别式△＞0即可．
乙：设两根为x₁，x₂，由题意得（x₂-1）（x₁-1）＜0，根据根与系数关系可得p的范围．
请你综合参考甲乙两人的想法，解决上述问题．

Answer 1

分析 先利用甲的方法，根据根的判别式△=4p²-4＞0可得出p的取值范围，再设方程的两根为x₁，x₂，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积，利用乙的方法将不等式进行变形，代入数据即可得出p的取值范围，综合甲乙的结论即可得出结果．

解答 解：∵方程x²+2px+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2p）²-4×1×1=4p²-4＞0，
∴p＞1或p＜-1．
设方程的两根为x₁，x₂，由题意可得：
（x₂-1）（x₁-1）＜0，
∵x₁+x₂=-2p，x₁•x₂=1，
∴（x₂-1）（x₁-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=2+2p＜0，
解得：p＜-1．
∴p＜-1．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是分别利用甲乙的方法找出p的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．