Question

4．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由题意得出BC=1，BI=4，则$\frac{AB}{BI}$=$\frac{BC}{AB}$，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得$\frac{AC}{AI}$=$\frac{AB}{BI}$，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式$\frac{QI}{AI}$=$\frac{GI}{CI}$=$\frac{1}{3}$，即可得到结果．

解答 解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，
∴$\frac{AB}{BI}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BI}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵∠ABI=∠ABC，
∴△ABI∽△CBA；
∴$\frac{AC}{AI}$=$\frac{AB}{BI}$，
∵AB=AC，
∴AI=BI=4；
∵∠ACB=∠FGE，
∴AC∥FG，
∴$\frac{QI}{AI}$=$\frac{GI}{CI}$=$\frac{1}{3}$，
∴QI=$\frac{1}{3}$AI=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．