Question

8．如图，在等腰直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于E、F，与AB分别交于点G、H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D．
（1）求证：AE=CE；
（2）求tan∠DEC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，由等腰直角三角形△ABC证得△AEO是等腰直角三角形，即问题可得；
（2）再由切割线定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．

解答 解：（1）如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=OF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴AE=OE，
∴AE=CE；
（2）设⊙O的半径为r，则OE=r，OB=$\sqrt{2}$r，BG=（$\sqrt{2}$+1）r，BF=OF=r，BC=2r，
由切割线定理可得BF²=BH•BG，
∴r²=BH（$\sqrt{2}$+1）r，
∴BH=（$\sqrt{2}$-1）r，（负值舍去）
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴$\frac{OE}{OH}$=$\frac{BD}{BH}$=1，
∴BH=BD，CD=BC+BD=2r+（$\sqrt{2}$-1）r=（$\sqrt{2}$+1）r，
∴tan∠DEC=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、切线的性质．解题的关键是构造正方形CEOF．