Question

19．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求∠P的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理得∠DAC=90°，∠ADC=∠B=60°，则利用三角形内角和定理得∠ACD=30°，由于AP=AC，于是利用等腰三角形的性质易得∠P=30°；
（2）连结OA，如图，先判断△OAD为等边三角形，则∠DOA=60°，而∠P=30°，则可计算出∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线；
（3）在Rt△APO中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OA=$\frac{1}{2}$OP，即OD+PD=2OA，而OD=OA，于是有OA=PD=$\sqrt{3}$，从而得到圆的直径．

解答 （1）解：连结AD，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°；
（2）证明：连结OA，如图，
∵OD=OA，∠ADO=60°，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA=60°，
而∠P=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△APO中，∵∠P=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP，即OD+PD=2OA，
而OD=OA，
∴OA=PD=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直径为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．