Question

12．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD=90°，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，
（1）求证：BF=BC；
（2）若AB=4cm，AD=3cm，求CF．

Answer 1

分析 （1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；
（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于$\frac{1}{2}$BD•CE=$\frac{1}{2}$BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．

解答 （1）证明：∵平行四边形ABCD中，∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．
∴BF=BC；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
又∵BD•CE=BC•DC，
∴CE=$\frac{BC•DC}{BD}$=$\frac{12}{5}$．
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$．
∴EF=BF-BE=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$．
∴CF=$\sqrt{C{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$cm．

点评 本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．