Question

3．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，求∠AOE的度数．

Answer 1

分析 先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△ABE是等腰直角三角形，△AOB是等边三角形，得出∠OBE=30°，OB=BE，求出∠BOE，即可得出所求．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABE=90°，OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=BE，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠AOE=60°+75°=135°．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；证明等腰直角三角形和等边三角形是解决问题的关键．