Question

17．如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN为半圆的切线．在AM上取一点C，连接BC交半圆于点D，连接AD．过O点作BC的垂线ON，与BN相交于点N．过C点作半圆的切线CE，切点为E，与BN相交于点F．当C在AM上移动时（A点除外），设$\frac{BF}{BN}=n$，则n的值为（　　）

• A． n=$\frac{1}{2}$
• B． 0＜n≤$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$≤n＜1
• D． 无法确定

Answer 1

分析 作FH⊥AC于H，如图，设BN=1，则BF=n，半圆的半径为r，根据切线的性质得∠MAB=∠NBA=90°，易得四边形ABFH为矩形，所以HF=2r，AH=BF=n，再根据切线长定理得到CE=CA，FE=FB=n，设CA=t，则CE=t，CH=t-AH=t-n，在Rt△CHF中利用勾股定理得（t-n）²+（2r）²=（t+n）²，解得t=$\frac{{r}^{2}}{n}$，接着证明Rt△BON∽Rt△ACB，然后利用相似比得可计算出n=$\frac{1}{2}$．

解答 解：作FH⊥AC于H，如图，设BN=1，则BF=n，半圆的半径为r，
∵AM、BN为半圆的切线，
∴∠MAB=∠NBA=90°，
∴四边形ABFH为矩形，
∴HF=2r，AH=BF=n，
∵CF切半圆于E点，
∴CE=CA，FE=FB=n，
设CA=t，则CE=t，CH=t-AH=t-n，
在Rt△CHF中，∵CH²+FH²=CF²，
∴（t-n）²+（2r）²=（t+n）²，解得t=$\frac{{r}^{2}}{n}$，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ON⊥BD，
∴AD∥ON，
∴∠BON=∠BAD，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠BON=∠ACB，
∴Rt△BON∽Rt△ACB，
∴$\frac{OB}{AC}$=$\frac{BN}{AB}$，即$\frac{r}{\frac{{r}^{2}}{n}}$=$\frac{1}{2r}$，
∴n=$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切线长定理；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．