Question

7．随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器（“china”）更为“一带一路”沿线人民所推崇，一外国商户看准这一商机，向我国一瓷器经销商咨询工艺品茶具，得到如下信息：
（1）每个茶壶的批发价比茶杯多110元；
（2）一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯；
（3）600元批发茶壶的数量与160元批发茶杯的数量相同．
根据以上信息：
（1）求茶壶与茶杯的批发价；
（2）若该商户购进茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个，并且总数不超过200个，该商户打算将一半的茶具按每套500元成套销售，其余按每个茶壶270元，每个茶杯70元零售，请帮助他设计一种获取利润最大的方案，并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为（x+110）元/个，根据数量=总价÷单价结合600元批发茶壶的数量与160元批发茶杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯（5m+20）个，根据总数不超过200个，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设利润为w，根据总利润=单件利润×销售数量结合销售方式，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为（x+110）元/个，
根据题意得：$\frac{600}{x+110}$=$\frac{160}{x}$，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，
∴x+110=150．
答：茶杯的批发价为40元/个，则茶壶的批发价为150元/个．
（2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯（5m+20）个，
根据题意得：m+5m+20≤200，
解得：m≤30．
若利润为w元，则w=$\frac{1}{2}$m（500-150-4×40）+$\frac{1}{2}$m×（270-150）+（5m+20-$\frac{1}{2}$×4m）×（70-40）=245m+600，
∵w随着m的增大而增大，
∴当m取最大值时，利润w最大，
当m=30时，w=7950．
∴当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为7950元．

点评 本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，找出w关于m的函数关系式．