Question

2．本题利用代数式$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．
（1）请你完成例题的解答；
（2）变式训练：求代数式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值；
（3）拓展练习：解方程$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{16-{x}^{2}}$=5．

Answer 1

分析 （1）构造图形如图所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，作点B关于MN的对称点D，过D作C′D⊥DB，交AM的延长线于C′，则ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=12，AC′=3+2=5，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设点B关于AC的对称点为B′，根据垂线段最短及两点之间，线段最短可知当B′、M、N三点共线且B′N⊥AB时BM+MN的值最小；
（3）构造图形如图2，当AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，由勾股定理得到AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，AB=5，推出∠ACB=90°，根据三角形的面积公式即可得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）构造图形如图1所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
其中：AM=3，BN=2，MN=12，设MP=x，则PN=12-x，
作点B关于MN的对称点D，过D作C′D⊥DB，交AM的延长线于C′，则ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=12，AC′=3+2=5，
∴PB=PD，
∵PA+PB=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=AD=$\sqrt{AC{′}^{2}+C′{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=13；

（2）如图，当AM=4，BN=2，MN=10，设MP=x，则PN=10-x，
则ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=10，AC′=4+2=6，
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值=PA+PB=AD，
∵AD=$\sqrt{AC{′}^{2}+C′{D}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴所求代数式的最小值是2$\sqrt{34}$；

（3）构造图形如图2，当AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，
则AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
即x=±$\frac{12}{5}$．
经检验x=±$\frac{12}{5}$都是方程的解．
则方程的解是x=±$\frac{12}{5}$．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题．解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，还考查了无理方程的解法．