Question

20．如图，AD是△ABC的中线，试说明：AB²+AC²=2（AD²+CD²）

Answer 1

分析 利用勾股定理得AB²+AC²=2AD²-2ED²+BE²+CE²，进而由BE²=DC²+2DC•ED+ED²，CE²=DC²-2DC•ED+ED²，求出即可．

解答 证明：如图，作BC边上的高AE交BC于E，
则在Rt△ABE中，AB²=BE²+AE²，
在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²，
所以AB²+AC²=2AE²+BE²+CE²，
在在Rt△AED中，AE²=AD²-ED²，
则AB²+AC²=2AD²-2ED²+BE²+CE²，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD=DC，
∴BE²=（BD+ED）²=（DC+ED）²=DC²+2DC•ED+ED²，
CE²=（DC-ED）²=DC²-2DC•ED+ED²，
∴AB²+AC²=2AD²-2ED²+DC²+2DC•ED+ED²+DC²-2DC•ED+ED²，
∴AB²+AC²=2（AD²+CD²）．

点评 本题考查勾股定理，三角形的中线及高的定义以及完全平方公式，关键是利用勾股定理得AB²+AC²=2AD²-2ED²+BE²+CE²．