Question

6．已知点A（4，m），B（ n，-8）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，设直线AB与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）如果点D在y轴上，且使△BCD为直角三角形，则符合要求的点D共有4个．

Answer 1

分析 （1）将A（4，m），B（ n，-8）分别代入反比例函数的解析式y=$\frac{8}{x}$得m=2，n=-1，求得A（4，2），B（-1，-8），得到直线AB解析式为y=2x-6，即可得到结果；
（2）设D（0，m），当∠BCD=90°时，当∠BDC=90°时，当∠DBC=90°时，根据勾股定理分别列方程求解，即可求得结论．

解答 解：（1）将A（4，m），B（ n，-8）分别代入反比例函数的解析式y=$\frac{8}{x}$得m=2，n=-1，
∴A（4，2），B（-1，-8），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{-k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
故直线AB解析式为y=2x-6，
令y=0，得到x=3，
即C（3，0）；

（2）∵点D在y轴上，
∴设D（0，m），
则CD²=3²+m²，
BC²=（1+3）²+8²=80，
BD²=1²+（m+8）²，
∵△BCD为直角三角形，
∴当∠BCD=90°时，则有BD²=CD²+BC²，
即1²+（m+8）²=3²+m²+80，
解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$），
当∠BDC=90°时，则有BC²=CD²+BD²，
即80=3²+m²+1²+（m+8）²，
解得：m=4±$\sqrt{19}$，
∴D（0，4+$\sqrt{19}$），（0，4-$\sqrt{19}$），
当∠DBC=90°时，则有DC²=BC²+BD²，
即3²+m²=80+1²+（m+8）²，
解得m=$\frac{17}{2}$，
∴D（0，$\frac{17}{2}$），
∴符合要求的点D共有4个．
故答案为：4．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．