如图.已知抛物线y=x2-3x-$\frac{7}{4}$与x轴交于A.B两点．(1)点A的坐标是.点B的坐标是.抛物线的对称轴是直线x=$\frac{3}{2}$,(2)将抛物线向上平移m个单位.与x轴交于C.D两点．若CD:AB=3:4.求m的值,中平移后的抛物线上y轴右侧部分的点.直线y=2x+b与 x.y轴分别交于点E.F．若以EF为直角边的三角形PEF与△OEF相似.直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，已知抛物线y=x²-3x-$\frac{7}{4}$与x轴交于A、B两点．
（1）点A的坐标是（-$\frac{1}{2}$，0），点B的坐标是（$\frac{7}{2}$，0），抛物线的对称轴是直线x=$\frac{3}{2}$；
（2）将抛物线向上平移m个单位，与x轴交于C、D两点（点C 在点D的左边）．若CD：AB=3：4，求m的值；
（3）点P是（2）中平移后的抛物线上y轴右侧部分的点，直线y=2x+b（b＜0）与 x、y轴分别交于点E、F．若以EF为直角边的三角形PEF与△OEF相似，直接写出点P的坐标．

分析（1）令y=0求出x的值即可得出AB两点的坐标，再由抛物线的对称轴公式即可得出其对称轴方程；
（2）由（1）知，AB=4，再由CD：AB=3：4求出CD的长，根据y=x²-3x-$\frac{7}{4}$向上平移m个单位可得出C（0，0），D（3，0），进而得出结论；
（3）根据直线y=2x+b（b＜0）与 x、y轴分别交于点E、F得出E（-$\frac{b}{2}$，0），F（0，b），故OE=-$\frac{b}{2}$，OF=-b，$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，再分∠PFE=90°与∠PEF=90°两种情况进行讨论．

解答解：（1）∵抛物线y=x²-3x-$\frac{7}{4}$与x轴交于A、B两点．
∴0=x²-3x-$\frac{7}{4}$，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{7}{2}$，
∴A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{7}{2}$，0），
∴抛物线的对称轴是x=$\frac{-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{7}{2}$，0），$\frac{3}{2}$；

（2）如图①，由（1）知，AB=4，
∵CD：AB=3：4，
∴CD=3，
∵y=x²-3x-$\frac{7}{4}$向上平移m个单位，
∴C（0，0），D（3，0），
∴y=x²-3x，
∴m=$\frac{7}{4}$；

（3）∵直线y=2x+b（b＜0）与 x、y轴分别交于点E、F．
∴E（-$\frac{b}{2}$，0），F（0，b），
∴OE=-$\frac{b}{2}$，OF=-b，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，
①当∠PFE=90°时，如图②，作EM⊥x轴，交PF于M，作GM⊥y轴于G，则四边形MGOE是矩形，
∴MG=OE，EM=OG，
∵∠EFO+∠MFG=90°，∠EFO+∠FEO=90°，
∴∠MFG=∠FEO，
∵∠EOF=∠MGF=90°，
∴△EOF∽△FGM，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{FG}{MG}$=$\frac{1}{2}$，
∵MG=-$\frac{b}{2}$，
∴FG=-$\frac{b}{4}$，
∴OG=-b-$\frac{b}{4}$=-$\frac{5}{4}$b，
∴M（-$\frac{1}{2}$b，$\frac{5}{4}$b），
∵把x=-$\frac{1}{2}$b代入y=x²-3x，得y=$\frac{5}{4}$b，
∴M在抛物线上，
∴M即为P₁点，
设P（x，x²-3x），
∴$\frac{{x}^{2}-3x}{x}$=-$\frac{5}{2}$，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{1}{2}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
∴E（$\frac{1}{2}$，0），F（0，-1），
∴直线P₁F的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y={x}^{2}-3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$；
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）或（2，-2）；
②当∠PEF=90°时，
∴PE⊥EF，
∴设直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∵E（$\frac{1}{2}$，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+n，解得n=$\frac{1}{4}$，
∴直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，
∴P₁（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），P₂（$\frac{11}{4}$，-$\frac{11}{16}$），P₃（2，-2），P₄（$\frac{13}{5}$，-$\frac{36}{25}$）．

点评本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、二次函数平移的性质、直角三角形的性质等知识，在解答（3）时要进行分类讨论．

试题分类