Question

11．如图，线段AC是菱形ABCD的一条对角线，过顶点A、C分别作对角线AC的垂线，交CB、AD的延长线于点E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD=5，AE=8，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的判定方法得出AE∥CF，再利用菱形的对边平行得出AF∥CE，进而得出答案；
（2）利用菱形的性质结合平行线的性质得出∠BAE=∠E，进而得出BE=AB，再利用平行四边形的性质得出答案．

解答 （1）证明：∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴AE∥CF，
∵菱形ABCD，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，
∴∠BAE=∠E，
∴AB=EB，
∵AD=5，
∴AB=EB=BC=5，
∵AE=8，
∴AE+EC=18，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长是36．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及菱形的性质、平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．