Question

菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4

3

，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S₁，未被盖住部分的面积为S₂，BP=x．
（1）用含x的代数式分别表示S₁，S₂；
（2）若S₁=S₂，求x的值．

Answer 1

考点：四边形综合题,菱形的性质,轴对称的性质,轴对称图形,特殊角的三角函数值

专题：综合题,压轴题,动点型,分类讨论

分析：（1）根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点P在BO上与点P在OD上求S₁和S₂的方法不同，因此需分情况讨论．
（2）由S₁=S₂和S₁+S₂=8

3

可以求出S₁=S₂=4

3

．然后在两种情况下分别建立关于x的方程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值．

解答：解：（1）①当点P在BO上，0＜x≤2时，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，AC=4

3

，BD=4，
∴AC⊥BD，BO=

1

2

BD=2，AO=

1

2

AC=2

3

，
且S_菱形ABCD=

1

2

BD•AC=8

3

．
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

3

．
∴∠ABO=60°．
在Rt△BFP中，
∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，
∴sin∠FBP=

FP

BP

=

FP

x

=sin60°=

3

2

．
∴FP=

3

2

x．
∴BF=

x

2

．
∵四边形PFBG关于BD对称，
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，
∴S_△BFP=S_△BGP=S_△DEQ=S_△DHQ．
∴S₁=4S_△BFP
=4×

1

2

×

3

2

x•

x

2

=

3

2

x2．
∴S₂=8

3

-

3

2

x2．
②当点P在OD上，2＜x≤4时，如图2所示．
∵AB=4，BF=

x

2

，
∴AF=AB-BF=4-

x

2

．
在Rt△AFM中，
∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4-

x

2

．
∴tan∠FAM=

FM

AF

=tan30°=

3

3

．
∴FM=

3

3

（4-

x

2

）．
∴S_△AFM=

1

2

AF•FM
=

1

2

（4-

x

2

）•

3

3

（4-

x

2

）
=

3

6

（4-

x

2

）²．
∵四边形PFBG关于BD对称，
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，
∴S_△AFM=S_△AEM=S_△CHN=S_△CGN．
∴S₂=4S_△AFM
=4×

3

6

（4-

x

2

）²
=

3

6

（x-8）²．
∴S₁=8

3

-S₂=8

3

-

3

6

（x-8）²．
综上所述：
当0＜x≤2时，S₁=

3

2

x2，S₂=8

3

-

3

2

x2；
当2＜x≤4时，S₁=8

3

-

3

6

（x-8）²，S₂=

3

6

（x-8）²．

（2）①当点P在BO上时，0＜x≤2．
∵S₁=S₂，S₁+S₂=8

3

，
∴S₁=4

3

．
∴S₁=

3

2

x2=4

3

．
解得：x₁=2

2

，x₂=-2

2

．
∵2

2

＞2，-2

2

＜0，
∴当点P在BO上时，S₁=S₂的情况不存在．
②当点P在OD上时，2＜x≤4．
∵S₁=S₂，S₁+S₂=8

3

，
∴S₂=4

3

．
∴S₂=

3

6

（x-8）²=4

3

．
解得：x₁=8+2

6

，x₂=8-2

6

．
∵8+2

6

＞4，2＜8-2

6

＜4，
∴x=8-2

6

．
综上所述：若S₁=S₂，则x的值为8-2

6

．

点评：本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识，考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想．