Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，点C的坐标为（3，0）．AB∥x轴，且OA=AB，抛物线y=ax²+bx+2经过点A、B、C．连 结BC，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠CBD绕点B按顺时针方向旋转得到∠EBF，角的两边分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于E、F．
（1）求a、b的值．
（2）当直线BF经过抛物线y=ax²+bx+2的顶点时，求CE的长．
（3）连结EF．设△BEF与△BEC的面积之差为S．当CE为何值时S最小，求出这个最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求它们的值；
（2）如图，过点G作GH⊥AB于点H，过点B作BM⊥OC于点M．构建全等三角形：△EBM≌△FBA（AAS）．则EM=AF．tan∠ABF=

AF

AB

=

HG

HB

，易求AF=

4

3

．故CE=CM+EM=1+

4

3

=

7

3

；
（3）设CE=m，则EM=m-1或1-m．在直角△BEM中，利用勾股定理得到BE²=EM²+BM²=m²-2m+5．又由（2）中的全等三角形的对应边相等推知：BF=BE．易求S=

1

2

(m-2)2+

1

2

．根据抛物线的性质知：当m=2时，S_最小=

1

2

．

解答：解：（1）根据题意，B（2，2），C（3，0），则

4a+2b+2=2 9a+3b+2=0.

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 .

；

（2）由（1）知，经过A、B、C的抛物线为y=-

2

3

x2+

4

3

x+2．
故顶点G的坐标为（1，

8

3

）．
如图，过点G作GH⊥AB于点H，
则AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

．
过点B作BM⊥OC于点M．则四边形ABMO为正方形．
∴BA=BM．
∵∠ABM=∠EBF=90°，
∴∠EBM=∠FBA．
∵∠BME=∠BAF=90°，
∴在△EBM与△FBA中，

∠EBM=∠FBA ∠BME=∠BAF=90° BM=BA

，
∴△EBM≌△FBA（AAS）．
∴EM=AF．
∵tan∠ABF=

AF

AB

=

HG

HB

，
∴AF=

4

3

．
∴EM=AF=

4

3

．
又∵C（3，0），B（2，2），
∴CM=1．
∴CE=CM+EM=1+

4

3

=

7

3

；                                      

（3）如图，连接EF．
设CE=m，则EM=m-1或1-m，
∴BE²=EM²+BM²=（m-1）²+2 ²=m²-2m+5．
又∵△FBA≌△EBM，
∴BF=BE．
∴S=S_△BEF-S_△BEC．
即S=

1

2

(m-2)2+

1

2

．
当m=2时，S_最小=

1

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积求法等．该题综合性比较强，难度较大．解题时，要注意数形结合的数学思想方法的应用．