Question

12．在△ABC中，AB=AC，点D是边BC所在的直线上的动点（点D不与B、C重合），过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）求证：AF=DE；
（2）若AC=5，DE=6，则DF=1或11．
（3）试探究：D在不同位置时，DE，DF，AC具有怎样的数量关系，直接写出结论：
①当点D在线段BC上时，关系是：DE+DF=AC；
②当点D在线段BC延长线上时，关系是：DE-DF=AC；
③当点D在线段CB延长线上时，关系是：DF-DE=AC；
（4）请选择（3）中你探究获得的其中一个结论证明之．

Answer 1

分析 （1）证明四边形AEDF是平行四边形，得出对边相等即可；
（2）分两种情况讨论，由平行四边形和等腰三角形的性质即可得出结果；
（3）由平行四边形和等腰三角形的性质即可得出结论；
（4）由平行四边形和等腰三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE；    
（2）解：分两种情况：
①如图2所示：同（1）得：四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDE，
∴BE=DE=6，
∴DF=AE=BE-AB=6-5=1；
②如图2所示：同①得：DF=AE，BE=DE=6，
∴DF=AE=6+5=11；
综上所述：DF的长为1或11；
故答案为：1或11；
（3）①由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF+CF，
∴DE+DF=AC；
故答案为：DE+DF=AC；
②由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF-CF，
∴DE-DF=AC；
故答案为：DE-DF=AC；
③由（1）（2）得：DE=AF，DF=AE，BE=DE，
∵AB=AE-BE，AC=AB，
∴DF-DE=AC；
故答案为：DF-DE=AC；
（4）解：选择：①；同（1）得：四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴DF=CF，
∵AF+CF=AC，
∴DE+DF=AC．

点评 本题是三角形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明平行四边形和等腰三角形是解决问题的关键．