我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“果圆．如图.A.B.C.D是“果圆与坐标轴的交点.点D的坐标为(0.8).且AB=6.点P是以AB为直径的半圆的圆心.P的坐标为(1.0).连接DB.AD.动点E.F分别从A.O两点出发.以相同的速度沿x轴正方向运动.当F到达B点时两点同时停止.过点F作FG∥BD交AD于点G．(1)求“果圆抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“果圆”．如图，A，B，C，D是“果圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，8），且AB=6，点P是以AB为直径的半圆的圆心，P的坐标为（1，0），连接DB，AD，动点E，F分别从A，O两点出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，当F到达B点时两点同时停止，过点F作FG∥BD交AD于点G．
（1）求“果圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）在“果圆”上是否存在一点H，使得△DBH为直角三角形？若存在，求出H点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设M，N分别是GE，GF的中点，求在整个运动过程中，MN所扫过的图形面积．

分析（1）由题意可设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把点D（0，8）代入即可求出a，解决问题．
（2）分三种情形讨论①D是直角顶点．②B是直角顶点．③H是直角顶点．分别求出点H坐标即可．
（3）根据MN所扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式计算即可．

解答解：（1）由题意，D（0，8），A（-2，0），B（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把点D（0，8）代入得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+8．

（2）如图1中，

①当D为直角顶点时，
∵直线BD解析式为y=-2x+8，
∵DH₁⊥BD，
∴直线DH₁的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+8}\\{y=-{x}^{2}+2x+8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{35}{4}}\end{array}\right.$，
∴点H₁坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）．
②当B为直角顶点时，直线BH₂解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，设H₂（m，$\frac{1}{2}$m-2），
由题意PH₂=3，
∴（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m-2）²=9，
整理得到5m²-16m-16=0，
解得m=-$\frac{4}{5}$或4，
∴点H₂坐标为（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
③当H为直角顶点时，设H（m，-m²+2m+8），BD的中点K（2，4）
由题意HK=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$，
∴（m-2）²+（-m²+2m+4）²=20，
∴m（m-4）（m²-3）=0，
∴m=0或4或$±\sqrt{3}$，
∴H₃（$\sqrt{3}$，5+2$\sqrt{3}$），H₄的坐标为（-$\sqrt{3}$，5-2$\sqrt{3}$）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）或（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$）或（$\sqrt{3}$，5+2$\sqrt{3}$）或（-$\sqrt{3}$，5-2$\sqrt{3}$）．

（3）如图3中，设M₁N₁是起始位置，M₂N₂S 终止位置．

∵M₁N₁∥AB，M₂N₂∥AB，
M₁N₁=$\frac{1}{2}$E₁F₁=1，M₂N₂=$\frac{1}{2}$E₂F₂=1，
∴M₁N₁∥M₂N₂，M₁N₁=M₂N₂，
∴四边形M₁N₁N₂M₂是平行四边形，作N₁G⊥AB于J，N₂H⊥AB于H．
∵DN₂=BN₂，HN₂∥OD，
∴OH=BH，
∴HN₂=$\frac{1}{2}$DO=4，
∵∠N₁OJ=∠N₂BH，∠N₁JO=∠N₂HB，
∴△N₁JO∽△N₂HB，
∴$\frac{{N}_{1}J}{{N}_{2}H}$=$\frac{O{N}_{1}}{B{N}_{2}}$，
∴N₁J=$\frac{4}{3}$，
∴MN所扫过的图形面积就是平行四边形M₁N₁N₂M₂的面积=1×（4-$\frac{4}{3}$）=$\frac{8}{3}$．