Question

在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．
（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2=

 

．（用α的代数式表示）
（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示．则∠α、∠1、∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．（不需要证明）

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：动点型

分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°；
（3）利用三角外角的性质得出．需要分类讨论，如图所示．

解答：解：（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，
∴∠1+∠2=∠A+α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠1+∠2=60°+α．
故答案是：60°+α；

（2）∠α=∠1-∠2+60°．理由如下：
如图（2），设AC与PE交于点F，．
∵∠1为△PFD的外角，
∴∠1=∠α+∠PFD．
∵∠2为△AEF的外角，
∴∠2+∠A=∠AFE
∵∠A=60°，∠AFE=∠PFD
∴∠2=60°+∠PFD        
∴∠1-∠2=∠α-60°
∴∠α=∠1-∠2+60°；

（3）如图（3）时：∠α=∠2-∠1-60°；
如图（4）时：∠α=∠1-∠2+60°．

点评：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．