Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-3，0），B（0，3），C（1，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，则可设P点的坐标为（x，-x²-2x+3），E点的坐标为（x，x+3），那么PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-（x+

3

2

）²+

9

4

，根据二次函数的性质可知当x=-

3

2

时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-

3

2

代入-x²-2x+3，进而得到P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），
∴

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°．
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PE越大，△PDE的周长越大．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

-3k+b=0 b=3

，解得

k=1 b=3

，
即直线AB的解析式为y=x+3．
设P点的坐标为（x，-x²-2x+3），E点的坐标为（x，x+3），
则PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
所以当x=-

3

2

时，PE最大，△PDE的周长也最大．
当x=-

3

2

时，-x²-2x+3=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
即点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）时，△PDE的周长最大．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．