Question

1．如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC边上的点，且∠DAE=45°，试判断线段BD、DE和EC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°所以E′B²+BD²=E′D²，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²．

解答 DE²=BD²+EC²，
证明：如图1，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，

∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
∴△AE′D≌△AED，
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．

点评 本题考查旋转的知识，三角形全等的判定方法和性质已经等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．利用全等来证明相等的线段是常用的方法之一．