Question

12．已知：△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AM和DN分别是中线，且AM=DN．求证：△ABC≌△DEF．

Answer 1

分析 根据SAS，可得△ABM≌△A′CM（SAS），根据SSS，可得△AA′C≌△DD′F，根据SAS，可得△A′MC≌△D′NF（SAS），根据SSS，可得答案．

解答 证明：如图：

延长AM至A′，使A′M=AM，延长DN至D′，使D′N=DN，连接A′C、D′F，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM=MC，
在△ABM和△A′CM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=MC}\\{∠AMB=∠A′MC}\\{AM=A′M}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△A′CM（SAS），
∴AB=A′C，
同理可得DE=D′F，
∵AB=DE，
∴A′C=D′F，
∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN，
∴AA′=DD′，
在△AA′C和△DD′F中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{AA′=DD′}\\{A′C=D′F}\end{array}\right.$，
∴△AA′C≌△DD′F（SSS），
∴∠A′=∠D′，
在△A′MC和△D′NF中，
$\left\{\begin{array}{l}{A′M=D′N}\\{∠A′=∠D′}\\{A′C=D′F}\end{array}\right.$，
∴△A′MC≌△D′NF（SAS），
∴MC=NF，
∵AM、DN分别是两三角形中线，
∴BC=2MC，EF=2NF，
∴BC=EF，
在△ABC和DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{AC=DF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌DEF（SSS）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用中线的性质得出△ABM≌△A′CM是解题关键，熟记全等三角形的判定与性质并根据条件选择适当的方法证明．