Question

已知二次函数C₁：y=x²+（2m+1）x+m²的图象与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若不论m为何值，二次函数C₁图象的顶点D均在某一函数的图象上，直接写出此函数的解析式；
（2）若二次函数C₁的图象与x轴的交点分别为M、N，设△MNC的外接圆的圆心为P．试说明⊙P与y轴的另一个交点Q为定点，并判断该定点Q是否在（1）中所求函数的图象上；
（3）当m=1时，将抛物线C₁向下平移n（n＞0）个单位，得到抛物线C₂，直线DC与抛物线C₂交于A、B两点，若AD+CB=DC，求n的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用题意得出函数顶点坐标，进而利用不论m为何值，二次函数C₁图象的顶点D均在某一函数的图象上，得出k的值，进而得出答案；
（2）设M（x₁，0），N（x₂，0），点C的坐标为：（0，m²），则OM•ON=x₁x₂=m²，再利用切割线定理OM×ON=OC×OQ，进而得出OQ的值，即可得出Q点坐标；
（3）作AH⊥BH于点H，作DG⊥y轴于点G，得出m=1时，得出函数解析式，进而得出AB=2DC，AH=2DG=3，求出DC的解析式，进而利用根与系数关系得出n的值．

解答：解：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²=（x+m+

1

2

）²-m-

1

4

，
若不论m为何值，二次函数C₁图象的顶点D均在某一函数的图象上，
∴设函数解析式为：y=kx+b，
则-m-

1

4

=k（-m-

1

2

）+b，
故k=1，则b=

1

4

，
故此函数解析式为：y=x+

1

4

；

（2）如图1，设M（x₁，0），N（x₂，0），点C的坐标为：（0，m²），
则OM•ON=x₁x₂=m²，
设⊙P与y轴的另一个交点为Q，
OM×ON=OC×OQ，
则OQ=

OM×ON

CO

=

|x1x2|

m2

=1，
∵m²＞0，
∴点C在y轴的正半轴上，开口向上，从而点Q在y轴的正半轴上，
∴点Q为顶点，它的坐标为：（0，1），
Q（0，1）不在（1）中所求函数图象上；

（3）如图2，作AH⊥BH于点H，作DG⊥y轴于点G，
∵y=x²+（2m+1）x+m²中m=1，
∴y=x²+3x+1=（x+

3

2

）²-

5

4

，
则x=-

b

2a

=-

3

2

，
∵AD+CB=DC，
∴AB=2DC，AH=2DG=3，
设抛物线C₂的解析式为：y=x²+3x+1-n，
由题意可得：D（-

3

2

，-

5

4

），C（0，1），
设DC的解析式为：y=ax+c，则

c=1 - 3 2 a+c=- 5 4

，
解得：

c=1 a= 3 2

故DC的解析式为：y=

3

2

x+1，
则x²+3x+1-n=

3

2

x+1，
故x_A，x_B是方程x²+

3

2

x-n=0两根，
x_A+x_B=-

3

2

，x_Ax_B=-n，
故|x_B-x_A|=

9 4 +4n

，
则

9 4 +4n

=3，
解得：n=

27

16

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式以及切割线定理等知识，熟练结合切割线定理得出QO的长是解题关键．