Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；
（1）求证：∠ABE=

1

2

∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S_△BEG；
（3）若E、F两点分别在AD、DC上运动，其它条件不变，试问：线段AE、EF、FC三者之间是否存在确定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由正方形的性质得AD∥BC，则∠AEB=∠GBE，由于∠AEB=∠BEG，根据等量代换得到∠BEG=∠GBE，根据三角形内角和定理得∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG，所以

1

2

∠BGE=90°-∠BEG=90°-∠AEB，加上∠ABE=90°-∠AEB，所以∠ABE=

1

2

∠BGE；
（2）作GH⊥BE于H，如图1，在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出BE=

17

，由△GBE为等腰三角形得BH=EH，则BH=

1

2

BE=

17

2

，再证明Rt△ABE∽Rt△BGH，利用相似比计算出GH=2

17

，然后根据三角形面积公式计算S_△BEG；
（3）作BQ⊥GE于Q，如图2，先根据“AAS”证明BEA≌△BEQ，则AB=QB，AE=QE，则BQ=BC，再利用“HL”证明△BFQ≌△BFC，则FQ=FC，所以EF=EQ+FQ=AE+CF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∵∠AEB=∠BEG，
∴∠BEG=∠GBE，
∴△GBE为等腰三角形，
∴∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG，即∠BGE=180°-2∠BEG，
∴

1

2

∠BGE=90°-∠BEG=90°-∠AEB，
而∠ABE=90°-∠AEB，
∴∠ABE=

1

2

∠BGE；

（2）解：作GH⊥BE于H，如图1，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=1，BE=

AB2+AE2

=

17

∵△GBE为等腰三角形，
∴BH=EH，
∴BH=

1

2

BE=

17

2

，
∵∠AEB=∠GBH，
∴Rt△ABE∽Rt△BGH，
∴

AB

GH

=

AE

BH

，即

4

GH

=

1

17 2

，
∴GH=2

17

，
∴S_△BEG=

1

2

×BE×GE=

1

2

×

17

×2

17

=17；

（3）解：AE+GF=EF．理由如下：
作BQ⊥GE于Q，如图2，
在△BEA和△BEQ中

∠A=∠BQE ∠AEB=∠QEB BE=BE

，
∴△BEA≌△BEQ（AAS），
∴AB=QB，AE=QE，
而AB=BC，
∴BQ=BC，
在△BFQ和△BFC中

BQ=BC BF=BF

，
∴△BFQ≌△BFC（HL），
∴FQ=FC，
∴EF=EQ+FQ=AE+CF．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．