Question

已知四边形ABCD外接⊙O的半径为10，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE•AC，BD=16．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）求△ABD的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接OA、OB，交DB于F；已知AB²=AE•AC，易证得△ABE∽△ACB；
（2）由（1）可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=6，则AF=4，由此可求得△ABD的面积．

解答：（1）证明：如图，

连接OA、OB，交DB于F；
∵AB²=AE•AC，即

AB

AC

=

AE

AB

；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；

（2）解：∵△ABE∽△ACB，
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，
∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，
∴OA⊥BD，且F为BD的中点；
∴BF=8；
在Rt△BOF中，OB²=BF²+OF²，
∴OF=6；
而OA=10，
∴AF=4；
∴S_△ABD=

1

2

BD×AF=16．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，综合性强．