题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（8，0）、C（8，3）．将直线l：y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=
 
时，直线l经过点A．（直接填写答案）
（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S＞0时S与t的函数关系式．
（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M，在直线l出发的同时，⊙M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，则当t为何值时，直线l与⊙M相切？
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）求得直线EF与x轴的交点坐标即可求得；
（2）分四种情况分别根据三角形的面积公式或梯形的面积公式即可得出面积S与时间t的函数关系式；
（3）根据直线EF的函数关系式y=-3（x-3t）-3得出直线MN的关系式，然后根据这两个关系式求得交点坐标，进而求得圆心M与交点N的长，最后根据圆的切线的性质列出MN等于圆的半径的关于t的方程，解这个方程即可求得．
解答：解：（1）令y=0，则0=-3x-3，
解得x=-1，
∴直线l：y=-3x-3与x轴的交点为（-1，0），
∵A（2，0），
∴3t=2-（-1），
解得：t=1；


（2）当1＜t≤
4
3
时，如图1，直线l：y=-3x-3向右平移了3t个单位，则直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
把x=2代入得：y=9（t-1），
∴AE=9（t-1），
∵直线l：y=-3x-3平移到A点，距离为3，
∴AF=3t-3=3（t-1），
∴S=
1
2
AF•AE=
1
2
×3（t-1）×9（t-1）=
27
2
（t-1）2，
即S=
27
2
（t-1）2；

当
4
3
＜t≤3时，如图2，∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
∴与CD的交点坐标E（3t-2，3），与x轴的交点F（3t-1，0），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，
∴S=
1
2
（3t-4+3t-3）×3=9t-
21
2
，
即S=9t-
21
2
；

当3＜t≤
10
3
时，如图3，∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
∴与CD的交点坐标E（3t-2，3），与x轴的交点F（3t-1，0），与BC的交点G（8，9t-27），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，BF=3t-1-8=3t-9，
∴S=
1
2
（3t-4+3t-3）×3-
1
2
（3t-9）（9t-27）=-
3
2
（3t-10）2+18，
即S=-
3
2
（3t-10）2+18；
当t＞
10
3
时，直线l扫过矩形ABCD的面积为S为矩形ABCD的面积，
即S=18；


（3）如图4，∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，M（2t+3，3），
∴设直线MN的解析式为：y=
1
3
x+b，
把M代入求得：b=2-
2
3
t，
∴直线MN的解析式为：y=
1
3
x+2-
2
3
t，
解
y=
1
3
x+2-
2
3
t
y=-3(x-3t)-3
 得：
x=
29t-15
10
y=
3t+15
10
，
∴N（
29t-15
10
，
3t+15
10
），
∵⊙M与直线相切，
∴MN=3，
∴（2t+3-
29t-15
10
）2+（3-
3t+15
10
）2=32，
解得：t=5-
10
或t=5+
10
；
∴当t为5-
10
或5+
10
；时，直线l与⊙M相切．
点评：本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点直线与x轴的交点，三角形、梯形的面积，圆的切线的性质等，难点在于（2）图形的不同分情况讨论，根据直线位置的不同分情况表示出图形的面积．
练习册系列答案
相关题目
若a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　）
A、a-3＞b-3
B、1-5a＞1-5b
C、
a
7
＞
b
7
D、-b＞-a
如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB边上的高，
求证：DE=
1
2
AC．
（
8
-3
3
）（
27
+2
2
）
已知，矩形ABCD中．
（1）如图1，分别沿AF、CE将AC两侧纸片折叠，使点B、D分别落在AC上的G、H处，则四边形AFCE为
 
形；
（2）如图2，在矩形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=4cm，BC=8cm，BF=3cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．
①若点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，设运动时间为t秒．当点P在FB上运动，而点Q在DE上运动时，若四边形APCQ是平行四边形，求此时t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），若四边形APCQ是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
去括号并合并同类项
①a-（2a-2）；　　　　　　　　
②-（5x+y）-3（2x-3y）．
已知二次函数C1：y=x2+（2m+1）x+m2的图象与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若不论m为何值，二次函数C1图象的顶点D均在某一函数的图象上，直接写出此函数的解析式；
（2）若二次函数C1的图象与x轴的交点分别为M、N，设△MNC的外接圆的圆心为P．试说明⊙P与y轴的另一个交点Q为定点，并判断该定点Q是否在（1）中所求函数的图象上；
（3）当m=1时，将抛物线C1向下平移n（n＞0）个单位，得到抛物线C2，直线DC与抛物线C2交于A、B两点，若AD+CB=DC，求n的值．
如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
（1）过E作直线CD，使CD∥AB；
（2）过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
（3）请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
72
+
50
-3
2
-
32
．

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