Question

8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数：如3=2²-1，5=3²-2²，7=4²-3²，8=3²-1²，9=5²-4²，11=6²-5²…探索从1开始第20个智慧数是29．

Answer 1

分析 根据规律可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数．归纳可得第n组的第一个数为4n（n≥2），又因为20=3×6+2，所以第20个智慧数是第7组中的第2个数，从而得到4×7+1=29．

解答 解：∵第1个智慧数3=2²-1²，第2个智慧数5=3²-2²，第3个智慧数7=4²-3²，
第4个智慧数8=3²-1²，第5个智慧数9=5²-4²，第6个智慧数11=6²-5²，
第7个智慧数12=4²-2²，第8个智慧数13=7²-6²，第9个智慧数15=4²-1²，
第10个智慧数16=5²-3²，第11个智慧数17=9²-8²，第12个智慧数19=10²-9²，
…
∴可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数．
即第n组的第一个数为4n（n≥2），
∵20=3×6+2，
∴第20个智慧数位于第7组第2个数，
∵第7组的第1个智慧数为4×7=28，
∴第7组第2个数为29，即第20个智慧数为29，
故答案为：29．

点评 本题主要考查数字的变化规律，将全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数是解题的关键．